\documentclass[handout]{slide}



\renewcommand{\mytitle}{第十一章\quad 曲线积分与曲面积分}
\renewcommand{\mysubtitle}{第四节\quad 对面积的曲面积分}
\graphicspath{{./images}}

\begin{document}

\section{对面积的曲面积分的概念与性质}

\begin{frame}{对面积的曲面积分的概念与性质}
在本章第一节第一目的质量问题中， 如果把曲线改为曲面\footnote{以后都假定曲面的边界曲线是分段光滑的闭曲线，且曲面有界。},
并相应地把线密度 $\mu(x, y)$ 改为面密度 $\mu(x, y, z)$, 小段曲线的弧长 $\Delta s_{i}$ 改为小块曲面的面积 $\Delta S_{i}$, 而第 $i$ 小段曲线上的一点 $\left(\xi_{i}, \eta_{i}\right)$ 改为第 $i$ 小块曲面上的一点 $\left(\xi_{i}, \eta_{i}, \zeta_{i}\right)$, 
\pause
那么， 在面密度 $\mu(x, y, z)$ 连续的前提下， 所求的质量 $m$ 就是下列和的极限：
\[
m=\lim _{\lambda \rightarrow 0} \sum_{i=1}^{n} \mu\left(\xi_{i}, \eta_{i}, \zeta_{i}\right) \Delta S_{i}
\]
其中 $\lambda$ 表示 $n$ 小块曲面的直径\footnote{曲面的直径是指曲面上任意两点间距离的最大者。}的最大值。

~

\pause
这样的极限还会在其他问题中遇到。抽去它们的具体意义， 就得出对面积的曲面
积分的概念。

\end{frame}
\begin{frame}
  \begin{definition*}
    设曲面 $\Sigma$ 是光滑的\footnote{所谓曲面是光滑的， 就是说， 曲面上各点处都具有切平面， 且当点在曲面上连续移动时， 切平面也连续转动。},
函数 $f(x, y, z)$ 在 $\Sigma$ 上有界。 
\pause
把 $\Sigma$ 任意分成 $n$ 小块 $\Delta S_{i}$ ( $\Delta S_{i}$ 同时也代表第 $i$ 小块曲面的面积), 设 $\left(\xi_{i}, \eta_{i}, \zeta_{i}\right)$ 是 $\Delta S_{i}$ 上任意取定的一点， 作乘积 $f\left(\xi_{i}, \eta_{i}, \zeta_{i}\right) \Delta S_{i}(i=1,2,3, \cdots, n)$, 并作和 $\sum_{i=1}^{n} f\left(\xi_{i}, \eta_{i}, \zeta_{i}\right) \Delta S_{i}$, 
\pause
如果当各小块曲面的直径的最大值 $\lambda \rightarrow 0$ 时， 这和的极限总存在， 且与曲面 $\Sigma$ 的分法及点 $\left(\xi_{i}, \eta_{i}, \zeta_{i}\right)$ 的取法无关，
\pause
那么称此极限为函数 $f(x, y, z)$ 在曲面 $\Sigma$ 上对面积的曲面积分或第一类曲面积分，
记作 $\iint_{\Sigma} f(x, y, z) \mathrm{d} S$, 
\pause
即
\[
\iint_{\Sigma} f(x, y, z) \mathrm{d} S=\lim _{\lambda \rightarrow 0} \sum_{i=1}^{n} f\left(\xi_{i}, \eta_{i}, \zeta_{i}\right) \Delta S_{i}
\]
其中 $f(x, y, z)$ 叫做\emph{被积函数}， $\Sigma$ 叫做\emph{积分曲面}。
\end{definition*}
\pause
我们指出， 当 $f(x, y, z)$ 在光滑曲面 $\Sigma$ 上连续时， 对面积的曲面积分是存在的。 今后总假定 $f(x, y, z)$ 在 $\Sigma$ 上连续。
\end{frame}

\begin{frame}
根据上述定义， 面密度为连续函数 $\mu(x, y, z)$ 的光滑曲面 $\Sigma$ 的质量 $m$, 可表示为 $\mu(x, y, z)$ 在 $\Sigma$ 上对面积的曲面积分
\[
m=\iint_{\Sigma} \mu(x, y, z) \mathrm{d} S .
\]
\pause
如果 $\Sigma$ 是分片光滑的\footnote{分片光滑的曲面是指由有限个光滑曲面所组成的曲面。以后我们总假定曲面是光滑的或分片光滑的。},
我们规定函数在 $\Sigma$ 上对面积的曲面积分等于函数在光滑的各片曲面上对面积的曲面积分之和。 
\pause
例如， 设 $\Sigma$ 可分成两片光滑曲面 $\Sigma_{1}$ 及 $\Sigma_{2}$ (记作 $\left.\Sigma=\Sigma_{1}+\Sigma_{2}\right)$, 就规定
  \[
  \iint_{\Sigma_{1}+\Sigma_{2}} f(x, y, z) \mathrm{d} S=\iint_{\Sigma_{1}} f(x, y, z) \mathrm{d} S+\iint_{\Sigma_{2}} f(x, y, z) \mathrm{d} S .
\]
\pause
由对面积的曲面积分的定义可知， 它具有与对弧长的曲线积分相类似的性质（线性性、分片可加性、单调性）， 这里不再赘述。

\end{frame}

\section{对面积的曲面积分的计算法}

\iffalse
\begin{frame}{对面积的曲面积分的计算法}

  \begin{wrapfigure}{r}{.3\textwidth}
  \centering
\includegraphics[max width=.3\textwidth]{2024_01_20_5cd341c5df1df7f4d312g-31}
\caption*{图 11-19}
\end{wrapfigure}
设积分曲面 $\Sigma$ 由方程 $z=z(x, y)$ 给出， $\Sigma$ 在 $x O y$面上的投影区域为 $D_{x y}$ (图 11-19), 函数 $z=z(x, y)$在 $D_{z y}$ 上具有连续偏导数， 被积函数 $f(x, y, z)$ 在 $\Sigma$ 上连续。

按对面积的曲面积分的定义，有
\[
  \iint_{\Sigma} f(x, y, z) \mathrm{d} S=\lim _{\lambda \rightarrow 0} \sum_{i=1}^{n} f\left(\xi_{i}, \eta_{i}, \zeta_{i}\right) \Delta S_{i}.
\]
设 $\Sigma$ 上第 $i$ 小块曲面 $\Delta S_{i}$ (它的面积也记作 $\Delta S_{i}$ ) 在 $x O y$ 面上的投影区域为 $\left(\Delta \sigma_{i}\right)_{x y}$ (它的面积也记作 $\left.\left(\Delta \sigma_{i}\right)_{x y}\right)$, 则 (4-1) 式中的 $\Delta S_{i}$ 可表示为二重积分
  \[
    \Delta S_{i}=\iint_{\left(\Delta \sigma_{i}\right)_{x y}} \sqrt{1+z_{x}^{2}(x, y)+z_{y}^{2}(x, y)} \mathrm{d} x \mathrm{~d} y.
\]
利用二重积分的中值定理， 上式又可写成
\[
  \Delta S_{i}=\sqrt{1+z_{x}^{2}\left(\xi_{i}^{\prime}, \eta_{i}^{\prime}\right)+z_{y}^{2}\left(\xi_{i}^{\prime}, \eta_{i}^{\prime}\right)}\left(\Delta \sigma_{i}\right)_{x y},
\]
其中 $\left(\xi_{i}^{\prime}, \eta_{i}^{\prime}, 0\right)$ 是小闭区域 $\left(\Delta \sigma_{i}\right)_{x y}$ 上的一点。 
又因 $\left(\xi_{i}, \eta_{i}, \zeta_{i}\right)$ 是 $\Sigma$ 上的一点， 故 $\zeta_{i}=$ $z\left(\xi_{i}, \eta_{i}\right)$, 这里 $\left(\xi_{i}, \eta_{i}, 0\right)$ 也是小闭区域 $\left(\Delta \sigma_{i}\right)_{x y}$ 上的点。
于是
\end{frame}

\begin{frame}
\[
  \sum_{i=1}^{n} f\left(\xi_{i}, \eta_{i}, \zeta_{i}\right) \Delta S_{i}=\sum_{i=1}^{n} f\left[\xi_{i}, \eta_{i}, z\left(\xi_{i}, \eta_{i}\right)\right] \sqrt{1+z_{x}^{2}\left(\xi_{i}^{\prime}, \eta_{i}^{\prime}\right)+z_{y}^{2}\left(\xi_{i}^{\prime}, \eta_{i}^{\prime}\right)}\left(\Delta \sigma_{i}\right)_{x y}.
\]
由于函数 $f[x, y, z(x, y)]$ 以及函数 $\sqrt{1+z_{x}^{2}(x, y)+z_{y}^{2}(x, y)}$ 都在闭区域 $D_{x y}$ 上连续， 可以证明， 当 $\lambda \rightarrow 0$ 时，上式右端的极限与
\[
\sum_{i=1}^{n} f\left[\xi_{i}, \eta_{i}, z\left(\xi_{i}, \eta_{i}\right)\right] \sqrt{1+z_{x}^{2}\left(\xi_{i}, \eta_{i}\right)+z_{y}^{2}\left(\xi_{i}, \eta_{i}\right)}\left(\Delta \sigma_{i}\right)_{x y}
\]
的极限相等。 这个极限在本目开始所给的条件下是存在的， 它等于二重积分
\[
  \iint_{D_{x y}} f[x, y, z(x, y)] \sqrt{1+z_{x}^{2}(x, y)+z_{y}^{2}(x, y)} \mathrm{d} x \mathrm{~d} y.
\]
因此左端的极限即曲面积分 $\iint_{\Sigma} f(x, y, z) \mathrm{d} S$ 也存在， 且有
\[
\iint_{\Sigma} f(x, y, z) \mathrm{d} S=\iint_{D_{x y}} f[x, y, z(x, y)] \sqrt{1+z_{x}^{2}(x, y)+z_{y}^{2}(x, y)} \mathrm{d} x \mathrm{~d} y .
\]
这就是把对面积的曲面积分化为二重积分的公式。 这公式是容易记忆的， 因为曲面 $\Sigma$的方程是 $z=z(x, y)$, 而曲面积分记号中的 $\mathrm{d} S$ 就是 $\sqrt{1+z_{x}^{2}(x, y)+z_{y}^{2}(x, y)} \mathrm{d} x \mathrm{~d} y$. 在计算时， 只要把变量 $z$ 换为 $z(x, y), \mathrm{d} S$ 换为 $\sqrt{1+z_{x}^{2}+z_{y}^{2}} \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y$, 再确定 $\Sigma$ 在 $x O y$ 面上的投影区域 $D_{x y}$, 这样就把对面积的曲面积分化为二重积分了。

如果积分曲面 $\Sigma$ 由方程 $x=x(y, z)$ 或 $y=y(z, x)$ 给出， 也可类似地把对面积的曲面积分化为相应的二重积分。
\end{frame}
\fi

\begin{frame}{对面积的曲面积分的计算法}
设$\Sigma$为参数曲面
\[
  \symbf{r}(u,v)=(x(u,v), y(u,v), z(u,v)), \quad(u,v)\in D,
\]
满足$\symbf{r}_u, \symbf{r}_v$连续且$\symbf{r}_u\times \symbf{r}_v$在闭区域$D$内永不消失（即不会取值$0$）。
\pause
我们定义过$\Sigma$的面积为
\[
  A(\Sigma) = \iint_D |\symbf{r}_u\times \symbf{r}_v|\mathrm{d}u\mathrm{d}v,
\]
此时面积元素可写为
\[
  dS = |\symbf{r}_u\times \symbf{r}_v|\mathrm{d}u\mathrm{d}v.
\]
\pause
 利用积分中值定理易得 
 \begin{theorem*}
   令$\Sigma$如上所设，$f(x,y,z)$为定义在$S$上的连续函数，那么
   \[
     \iint_{\Sigma} f(x,y,z) \mathrm{d}S=\iint_D f(x(u,v), y(u,v), z(u,v)) |\symbf{r}_u\times \symbf{r}_v|\mathrm{d}u \mathrm{d}v.
   \]
 \end{theorem*}
\pause
 若$\Sigma$由$z=z(x,y)$显式定义的，令$D_{xy}$为$\Sigma$在$xOy$平面的投影，则
 \[
   \iint_{\Sigma} f(x,y,z) \mathrm{d}S= \iint_{D_{xy}} f(x,y,z(x,y)) \sqrt{1++z_{x}^{2}(x, y)+z_{y}^{2}(x, y)} ~\mathrm{d} x \mathrm{~d} y.
 \]
 \pause
 若$\Sigma$由$y=y(x,z)$或$x=x(y,z)$定义，我们有类似的公式。
\end{frame}

\begin{frame}
  \begin{example}
  计算曲面积分 $\displaystyle\iint_{\Sigma} \frac{\mathrm{d} S}{z}$, 其中 $\Sigma$ 是球面 $x^{2}+y^{2}+z^{2}=a^{2}$ 被平面 $z=h$ ($0<h<a$) 截出的顶部 (图 11-20).
\end{example}
\pause
\begin{solution*}[解法一]
  \begin{wrapfigure}{r}{.3\textwidth}
      \centering
      \includegraphics[max width=.3\textwidth]{2024_01_20_5cd341c5df1df7f4d312g-32}
    \caption*{图 11-20}
    \pause
\end{wrapfigure}
    $\Sigma$可参数化为
    \[
      \symbf{r}(\theta, \varphi)=(a\sin \theta \cos \varphi, a\sin\theta \sin \varphi, a\cos \theta),
    \]
    其中$\theta\in [0, \arccos \frac{h}{a}], \varphi\in [0,2\pi]$.
    \pause
    我们以前算过
    \[
      |\symbf{r}_{\theta}\times \symbf{r}_\varphi| =a^2\sin \theta.
    \]
    \pause
    因此
    \[
    \begin{aligned}
      \iint_{\Sigma} \frac{\mathrm{d} S}{z} &= 
      \int_{0}^{\arccos \frac{h}{a}} \int_0^{2\pi} \frac{a^2\sin\theta}{a\cos\theta}  \mathrm{d}\varphi \mathrm{d}\theta\\
      &= \int_{0}^{\arccos \frac{h}{a}} \frac{a^2\sin\theta}{a\cos\theta} \mathrm{d}\theta \int_0^{2\pi} \mathrm{d}\varphi \\
      &= 2\pi a \left[ -\ln \cos\theta \right]_0^{\arccos \frac{h}{a}} 
      = -2\pi a\ln\frac{h}{a}=2\pi a\ln \frac{a}{h}.
    \end{aligned}
  \]
\end{solution*}

\end{frame}

\begin{frame}
  \begin{solution*}[解法二]
    $\Sigma$ 的方程为
$
z=\sqrt{a^{2}-x^{2}-y^{2}},
$
$\Sigma$ 在 $x O y$ 面上的投影区域 $D_{x y}$ 为圆形闭区域 $\left\{(x, y) \mid x^{2}+y^{2} \leqslant a^{2}-h^{2}\right\}$. 又
\[
\sqrt{1+z_{x}^{2}+z_{y}^{2}}=\frac{a}{\sqrt{a^{2}-x^{2}-y^{2}}} .
\]
根据公式(4-2), 有
\[
  \iint_{\Sigma} \frac{\mathrm{d} S}{z}=\iint_{D_{x y}} \frac{a \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y}{a^{2}-x^{2}-y^{2}}.
\]
利用极坐标， 得
\[
  \begin{aligned}
    \iint_{\Sigma} \frac{\mathrm{d} S}{z}&= \iint_{D_{x y}} \frac{a \rho \mathrm{d} \rho \mathrm{d} \theta}{a^{2}-\rho^{2}}=a \int_{0}^{2 \pi} \mathrm{d} \theta \int_{0}^{\sqrt{a^{2}-h^{2}}} \frac{\rho \mathrm{d} \rho}{a^{2}-\rho^{2}}\\
    &= 2 \pi a\left[-\frac{1}{2} \ln \left(a^{2}-\rho^{2}\right)\right]_{0}^{\sqrt{a^{2}-h^{2}}}=2 \pi a \ln \frac{a}{h} .
\end{aligned}
\]
  \end{solution*}
\end{frame}

\begin{frame}
  \begin{example}
  计算 $\displaystyle\oiint_{\Sigma} x y z \mathrm{~d} S$%
  \footnote{记号 $\oiint_{\Sigma}$ 表示在闭曲面 $\Sigma$ 上积分。},
  其中 $\Sigma$ 是由平面 $x=0, y=0$, $z=0$ 及 $x+y+z=1$ 所围成的四面体的整个边界曲面 (图 11-21).
\end{example}
\pause
\begin{solution}
  \begin{wrapfigure}{r}{.27\textwidth}
      \centering
      \includegraphics[max width=.25\textwidth]{2024_01_20_5cd341c5df1df7f4d312g-33}
    \caption*{图 11-21}
    \pause
\end{wrapfigure}
整个边界曲面 $\Sigma$ 在平面 
\[
  x=0, y=0, z=0 \text{~及~} x+y+z=1
\]
上的部分依次记为 $\Sigma_{1}, \Sigma_{2}, \Sigma_{3}$ 及 $\Sigma_{4}$,于是
\[
\oiint_{\Sigma} x y z \mathrm{~d} S=\iint_{\Sigma_{1}} x y z \mathrm{~d} S+\iint_{\Sigma_{2}} x y z \mathrm{~d} S+\iint_{\Sigma_{3}} x y z \mathrm{~d} S+\iint_{\Sigma_{4}} x y z \mathrm{~d} S .
\]
因为在 $\Sigma_{1}, \Sigma_{2}, \Sigma_{3}$ 上，被积函数 $f(x, y, z)=x y z$ 均为零，
 所以
  \[
    \iint_{\Sigma_{1}} x y z \mathrm{~d} S=\iint_{\Sigma_{2}} x y z \mathrm{~d} S=\iint_{\Sigma_{3}} x y z \mathrm{~d} S=0.
  \]
 \end{solution}
 \end{frame}


 \begin{frame}
  \begin{solution}[续]
   在 $\Sigma_{4}$ 上， $z=1-x-y$, 所以
  \[
   \sqrt{1+z_{x}^{2}+z_{y}^{2}}=\sqrt{1+(-1)^{2}+(-1)^{2}}=\sqrt{3},
  \]
 从而
  \[
   \oiint \int_{\Sigma} x y z \mathrm{~d} S=\iint_{\Sigma_{4}} x y z \mathrm{~d} S=\iint_{D_{x y}} \sqrt{3} x y(1-x-y) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y
  \]
 其中 $D_{x y}$ 是 $\Sigma_{4}$ 在 $x O y$ 面上的投影区域， 即由直线 $x=0, y=0$ 及 $x+y=1$ 所围成的闭区域。 因此
  \[
     \begin{aligned}
          \oiint_{\Sigma} x y z \mathrm{~d} S&= \sqrt{3} \int_{0}^{1} x \mathrm{~d} x \int_{0}^{1-x} y(1-x-y) \mathrm{d} y=\sqrt{3} \int_{0}^{1} x\left[(1-x) \frac{y^{2}}{2}-\frac{y^{3}}{3}\right]_{0}^{1-x} \mathrm{~d} x\\
           &= \sqrt{3} \int_{0}^{1} x \cdot \frac{(1-x)^{3}}{6} \mathrm{~d} x=\frac{\sqrt{3}}{6} \int_{0}^{1}\left(x-3 x^{2}+3 x^{3}-x^{4}\right) \mathrm{d} x \\
          &= \frac{\sqrt{3}}{120} .
         \end{aligned}
        \]
       \end{solution}
     \end{frame}

 \end{document}
